825 / 2018-08-09 22:53:02

标签： 传统数学

中国古代科技曾经非常辉煌灿烂，长期处于世界领先地位。但是从明清以来，尤其是到了近代，中国的科学却落后了，被西方远远甩在了后面。这不免要引起人们的深思。我们都知道，欧洲的近代科学始于哥白尼革命，而哥白尼革命的最终完成则要到牛顿时代经典物理学的建立。在这个过程中，数学的作用是非常关键的。开普勒通过数学计算发现了行星运动三定律；而牛顿能够建立起他的物理体系则有赖于微积分的发明。微积分的发明使得数学从常量研究走向变量研究，开启了近代数学的大门。然而此时中国的传统数学却和其他传统科技一同走向了衰落，衰落的原因显然是非常复杂的，需要深入地分析。由于数学本身的特殊性和对自然科学的重要性，在科学领域中数学具有相当的代表性，就像一提起古希腊的科学人们很容易想到欧几里得的《几何原本》，因而对中国传统数学的盛衰的分析或许能为我们理解传统科技打开一扇窗。

一、对数学衰落的一般解释及质疑

 科学史的研究有所谓内史和外史的分别，数学史的研究同样也有这样的区分。这样的区分并不意味着学者只注重其中一点，相反多数学者还是坚持二者的统一，只是在论述中常分两条线罢了。

 对于中国传统数学的发展历史，现代数学史家大体是这样认识的：“数学史的分期应以数学内部的发展为主要依据，同时考虑相应时期的社会经济、政治的变革和思想、文化背景。”^[①]因而把中国数学史分成“中国数学的兴起——原始社会到西周时期的数学，中国传统数学框架的确立——春秋至东汉中期的数学，中国传统数学理论体系的完成——东汉末至唐中叶的数学，中国传统数学的高潮——唐中叶至元中叶的数学，传统数学主流的转变与珠算的发展——元中叶至明末数学，西方数学的传入与中西数学的融会——明末至清末的数学凡6个时期。”^[②]在这六个时期中，最重要的是魏晋南北朝和宋金元时期，前者产生了以刘徽、祖冲之为代表的数学家，后者则有秦九韶、李冶、杨辉和朱世杰等宋元数学四大家，中间的隋唐虽为低潮，也还有李淳风、僧一行等。更为引人注意的是，自四大家之后，数学的发展似乎戛然而止，明清数学家不仅未能创新发展，甚至连继承的谈不上；例如明人顾应祥在研究李冶的《测海圆镜》时就觉得“反复合之而无下手之术”。

当然，也有人提出不同意见，刘五然根据明人王文素的《算学宝鉴》认为传统数学在明代并未失传，而且还有所创新，甚至发明并使用了欧洲17世纪微积分创立时期才出现的导数。^[③]不过，且不说《算学宝鉴》在多大程度上继承了传统数学并加以创新，单就此书之未能刊刻流传^[④]的情况来说，就表明它对明代数学影响甚微。顾应祥可以说是明代数学家数学水平的代表性人物，而王文素倒像是个特例，他的存在只能说宋元数学在明代不绝如缕，说“几乎失传”并不为过。相比之下，其他科技恐怕都没有数学的衰落得厉害，就这点来看，在整个传统科技中，数学的衰落可谓典型到了极致——这正是本文以数学为切入点的原因。

那么出现这种状况，原因何在呢？传统数学是传统科技的一部分，对于传统科技落后的原因，我们不妨先看一篇我个人认为很有代表性的中学教案：

 一、背景介绍
在与高三学生进行中国古代文化史专题复习时，我发现大家都有感于中华文化的源远流长，博大精深，尤其惊叹于古代科技的辉煌成就。然而，这些都是逝去的辉煌，我们学习历史是为了了解过去，更是为了面对现实，古代科技取得的突出成就的确值得我们骄傲，但逝去的辉煌更值得我们反思，因此，我就设计了这样一问：中国既然有那么辉煌的古代科技，为何在近代却落后了？
二、研究过程
师：根据1975年出版的《自然科学大事年表》记载，明代以前，世界上重要的创造发明和重大的科学成就大约300项，其中中国大约175项，占总数的57%以上。英国剑桥大学的李约瑟博士在研究后指出，中国的发明和发现，远远超过同时代的欧洲。中国古代科技长期领先于世界，我国先进的技术成就和在天文、数学、化学、医药等方面的科学知识，曾传播到世界各地，对世界科技的发展作出了重要贡献。然而，大约从15世纪后半期开始，近代科学在西欧兴起，我国的科技不但被西方迅速赶上和超过，而且日益走向衰落。这究竟是什么原因导致的呢？
生1：近代中国封建落后，实行闭关琐国政策，严重阻碍了资本主义萌芽的发展，也阻碍了和工商业有关的科技的发展。
生2：明清统治者实行文化专制主义政策，采取八股取士，大兴文字狱，严重束缚知识分子的头脑，使他们脱离实际、脱离生产，脱离对自然界的观察研究，一味钻在古书堆当中。
生3：我认为是教育的落后，中国封建教育以儒学为主要内容，以培养封建官吏为目的，文人整天就念四书五经，很少涉及生产和科学知识。
生4：长期以来自给自足的小农经济具有明显的分散性和狭隘性，也不可能使科学应用达到较大规模，从而使近代科学的产生和应用失去了应有的土壤。
师：大家说的很好，的确科技文化的发展状况取决于当时社会的政治和经济状况，可以说，日趋腐朽的封建制度是阻碍中国近代科学出现的最根本原因。那么，中国古代科技自身有没有缺陷呢？
生5：有，比如说从内容上看，中国在科技上的主要成就大多属于应用科学，只满足于实际上的应用，没有形成理论上探讨和深思的风气。
生6：中国学者形成了“天人合一”的世界观，这种世界观中包含了一些人与自然协调的正确思想，但也妨碍了对自然的研究，更无益于对人事的研究。
师：你这个观点提的很好，能否举例说明？
生6：比如，我国有世界上最早的对太阳黑子、彗星、陨石等观察和记录，然而长期以来，却把它们与人事联系在一起，纠缠不清，严重影响了对天文学领域的进一步研究。
生7：,还有，中国学者的研究方法主要是采用传统的整理典籍和总结经验，而事实上进行科学实验才是建立近代科学的基础。不进行实验，就不能由表及里，发现事物内部的运动规律。
师：这就是说，中国的科技往往只停留在经验的形态上，缺少欧洲近代科学那种严密的理论体系，也没有得出普遍的科学规律和定则。这说明它自身有明显的缺陷。
生7：对，就是这个意思。
师：很好，通过一翻讨论，我想我们都已明白了中国科技由领先到落后的原因。纵观这一发展历程给我们的启迪也是很清楚的，那就是经济的发展，为科技文化的进步提供物质基础，由经济决定的政治状况，为科技文化的发展提供相应的社会环境。所以从国家来讲，要坚持以经济建设为中心，要实施科教兴国战略，要重视人才，尊重人才，充分发挥人的主观能动性。就我们个人而言，一定要有创新意识和创新能力，要有重整中国科技雄风的信心与勇气。^[⑤]

如果概括起来并用之于数学，大体就是这样：人们会把原因首先归之于传统数学的内在不足，进而推及传统文化整体，最后落脚于传统社会的经济、政治等因素。这些观点并不仅仅存在于中学教学之中，同样也是学者们的一般看法。虽说每个学者的关注点和看法会有不同乃至对立，但就总体来说不出此范围，基本上都遵循了类似研究思路。下面进行具体分析。

一般人常常会认为中国传统数学不仅不能跟近代数学相比，甚至都不能跟古希腊的数学相提并论；“一言以蔽之，人们认为中国古代杰出的数学成就，主要是经验的积累，至多是归纳推理和归纳论证的结果，并没有演绎推理和演绎证明，亦即没有数学证明。”^[⑥]当然也就谈不上什么数学理论了。与《几何原本》相比，许多人认为《九章算术》只是一本“应用问题集”而已。不仅西方人多持这样的看法，包括对中国古代科技相当推崇的李约瑟，甚至国内的不少人也是这么认为的。

但是数学史家们的研究否定了这种看法。首先，传统数学著作之间的差别是很大的，包括著作的体例、内容的深浅、抽象程度、严谨性以及有无推理证明等方面；“从以上几个方面看，中国古代数学实际上存在着民间数学和数学家的数学的分野。”事实上古代数学家也认识到了这一点，有些大数学家甚至鄙视民间数学。^[⑦]

如果说民间的数学可以说是没有逻辑推理和证明理论，那么数学家的数学又是怎样的呢？

传统数学自《九章算术》以来，就有以算为主、寓理于算的特点。强调算法并不意味着没有逻辑和理论。就《九章算术》本身而言，其中“许多术文是几道题目的总术，大部分术文是非常抽象的具有普适性的算法。”^[⑧]《九章算术》虽然没有留下推导或论证，但其中“许多公式和方法相当抽象和高深，已非经验总结所能及，没有某种形式的论证是不可能的。”^[⑨]现存的《九章算术》^[⑩]确实主要使用了归纳法，对于概念的定义也只是采用约定俗成的方法，此书总体来说也不成体系。不过到三国刘徽注《九章算术》时就不一样了。

刘徽在《九章算术注·序》中把数学看作一棵大树，“枝条虽分而同本干”，因而他要“总算术之根源”^[11]。他为一些重要的数学概念作出了明确定义，并且在使用中遵循了同一性原则；而且他还把“率”和“齐同原理”作为“算之纲纪”。在论证方面，除了归纳法外，他“更主要地则是使用演绎逻辑，包括三段论、关系推理、联言推理、假言推理、二难推理，甚至数学归纳法的雏形。可以说，刘徽达到了中国古代逻辑学的最高峰。”^[12]正是由于“刘徽注使中国古代数学具备了全面性、客观真理性、系统性和逻辑性等一个理论体系所必须具备的几项特点。”^[13]因而数学史家们大都认为这标志着中国传统数学理论体系的形成。

当然传统数学理论跟西方数学理论是有很大不同的。有演绎逻辑并不意味着就得有演绎体系，有理论也不意味着就得有公理化体系。传统数学有以算为主、寓理于算的特点，“如果要求一个以发展算法和计算技术为中心的古代数学理论体系采用公理化结构，不仅完全脱离了那个时代，而且是华而不实的。”^[14]这个评价应当说是比较中肯的。

因此，那些认为中国数学没有逻辑推理、只是经验归纳的看法是站不脚的。许多真正的数学成就——诸如解高次方程等，是不可能靠经验总结出来的。像祖冲之的《缀术》，到了隋唐时，“学官莫能究其深奥，是故废而不理。”^[15]可以想见内容之艰深，最终此书竟因此失传。传统数学较少有直接的理论说明，更多的是“寓理于算”；而很多数学家的著作失传，也使我们难窥其貌。

此外，就中国数学本身，可能还有人会提出这样的看法，认为中国数学实用性太强，不像西方数学是纯数学，中国数学家受经世致用思想的影响也不属于纯粹的数学家，加之古代经济社会对数学应用要求不高，于是实用性限制了数学的发展的高度。这样的看法即使在数学史家那里也或多或少地存在。

这种观点是有道理的，因为实用性确实是传统数学的一大特点，而且实用因素导致古代数学家与重大数学发现擦肩而过的现象也不鲜见。例如跟毕达哥拉斯学派一样，古人也发现了开方开不尽的现象，但只求近似值，于是错过了无理数的发现。

但是，我们要问，如果中国数学只是为了实用，那么刘徽又何必建立起理论体系呢？甚至都没必要为《九章算术》里的公式作证明，只要它在实际应用中不出错就可以了，演绎证明是没有必要的。刘徽为之作注只能应当说出于“为数学而数学”的精神，他所建立的也正是纯数学；更有趣的是，刘徽还说其目的之一是：“考论厥数，载之于志，以阐世术之美。”^[16]这可以算是上升到了“数学之美”的层次，岂是功利的实用眼光所能达到的？再如唐代的僧一行，“寻访算术不下数千里，知名者往询焉。”^[17]其热爱数学可见一斑。再如金末元初的李冶，在《测圆海镜·序》中称“自幼喜算术”，对于出版该书一事，他说：“览吾之编，察吾苦心，其悯我者当百数，其笑我者当千数。乃若吾之所自得则自得焉耳，宁复为人悯笑计哉！”^[18]虽寥寥数语，但其为数学而数学的求真精神却跃然纸上。又如明代朱载堉也说：“予为人无所长，惟算术是好。……有其巧而无其用，殆似屠龙，一以自喜，一以自笑。安知来世读吾书者，不喜吾之所喜，不笑吾之所笑哉！”^[19]可见，这种纯粹热爱数学者历代不乏其人。

再就数学成就本身而言，也可以证明传统数学绝非单纯的实用数学。祖冲之的圆周率其精确度是众所周知的，《隋书·律历志》也称其“指要精密，算氏之最者也”^[20]，但是这样精确的圆周率却并非实际所需，即使元代以精确著称的《授时历》仍使用“周三径一”这样的约数，更不必说日常实际了。宋金元是传统数学的高潮，对于取得成就的原因，学者们一针见血地指出：“有着数学发展的‘内在的’的因素，在一定意义上讲，这方面的因素还是主要的。”^[21]同时学者们还进一步指出：“脱离实际，就是宋元数学最根本的缺点。”^[22]因为代表这个时期最高成就的“天元术”“四元术”等在实际中的应用极为罕见，许多著名的数学问题是人为编造出来的，是数学本身提出的。应当说，这确实是明代没能继承下来的重要原因，因为现实不需要。但反过来，这也正说明了传统数学的超实用的一面，就这种纯数学精神而言，中国数学家与古希腊数学家并无二致。试想若没有这些纯理论的探讨，哪有现在可以津津乐道的成就！明代倒是把实用性进行到底，结果乏善可陈。

如前所述，传统数学可以分为民间的实用数学和数学家的理论数学两条线，这在宋以后犹为明显。诚如学者指出的：“中国传统数学理论，乃是为着建立那些在实际中有直接应用的数学方法而构造的最为筒单、精巧的理论建筑物。”^[23]数学家毫无疑问也坚持经世致用，不同的是，数学家们常常批评世人只知道数学之小用而不知数学之大用^[24]。他们力图把经世致用与为数学而数学两者统一起来，可以说正是这两种精神的结合促使数学家们取得了如此辉煌的成就，并且其中为数学而数学的精神之作用还要更大些。

那么传统数学自身就没有问题了吗？显然也不是，数学家史们对传统数学的缺陷的认识是很深刻的，大都认为这些缺陷是数学衰落的重要原因。传统数学的算法以筹算为基础，到了宋元“四元术”发明后，筹算可以说发展到了极限。^[25]“天元术”发明意味着代表未知数的符号在传统数学中的应用，但这些符号还不是完全的数学符号，因为它们还不直接参与数学运算。^[26]传统数学的缺点是不少的，发展到宋元时确实遇到了很多瓶颈。

但是，传统数学的每一步发展从来都是建立在对原有瓶颈的突破的基础之上的，遇到瓶颈正意味着发展的可能性。《九章算术》缺乏理论和证明，这一根本性的缺陷不就让刘徽突破了吗？传统筹算不如西方的笔算，在宋元时期确实发展到极限，但同时传统数学开始局部出现了笔算，所以当明代西方的笔算传入中国时，“除形式之外，其内容对中国人来说并不新鲜。”^[27]像“天元术”从无到有这本身就是一种质的突破，而从半符号到完全的数学符号应当说是量变，质变尚且有了，如何说量变是不可能的呢？再说，即使传统数学的缺陷造成了瓶颈，那也应该只是没有创新发展，绝不至于导致传统数学在明代几乎失传；事实上，王文素的《算学宝鉴》说明明代虽然数学式微但也还是有一定的创新的。正如一个学者所说：“数学本身的缺点只能造成数学的某个方面的发展受到影响。但是象明以后一个相当长的时期数学处于落后的状态，是很难用数学本身存在的缺点来加以解释的。”^[28]

传统数学是传统科技的一部分，也是传统文化的一部分，人们不免会想到数学跟传统文化整体的关系，试图从文化中寻找导致数学乃至科技整体衰落的原因。人们可能会提出中国文化的直观思维、整体思维、经世致用思想、信奉经典墨守成规、重思辨轻逻辑、重人伦轻技艺、尚空谈轻实验、重模糊轻精确、重定性轻定量、重农业轻工商等等不一而足。只是这些文化特征可以说自先秦以来即是如此，何以单单在后期导致衰落呢？这些观点确有一定的启发性，不过未免失之于笼统而空洞，既解释不了传统数学的兴盛，也回答不了其何以衰落。这类大而化之的方式是不适合解释传统数学之兴衰这种具体的历史问题的。我们试举一例，如信奉经典墨守成规这点，请看明代朱载堉怎么说：

“因其（指他自己）所好（数学）而益穷之，以求至乎其极；用力既久，豁然贯通，故有得先儒所未得、发先儒之所未发者存焉。”^[29]

可以看出，即使在被人诟病独尊理学、盛行八股的明代，先贤的经典也挡不住数学家们的创新热情；至于能多大程度突破原有框架那是另一回事了。不说数学，单单宋明理学跟汉唐经学的巨大差异、清代颜若璩敢证《古文尚书》之伪等大小事例就足以表明：问题不在于有没有创新精神，而在于有没有感觉到创新的需要。

 有人或许认为那也仅仅是修修补补，不是对原有框架的突破。传统数学最终能不能有根本性的突破没法讨论，它的实际情况远比这来得糟糕——连继承都没法做到，这才是最让人匪夷所思的地方。

由此看来从内史探求原因的道路是不太行得通了，那么外史的研究又是怎样的呢？

外史的研究主要集中在经济、政治、社会等几个方面，具有代表性的有封建经济落后没有现实需求、没有资本主义的发生、官僚制度、科举制度、封建专制制度、思想禁锢、社会环境封闭缺少交流等等。其中经济因素不必多说，前面已经说明数学之辉煌跟经济社会需求没有绝对的联系，明清经济并不比前代落后但科技却难以跟前代相比也说明了这一点。明清时西方数学已经开始传入，交流并非没有，问题在于感兴趣的人少之又少；更有意思的是，当人们看西方数学之精妙时又提出“西学中源说”作为下台阶，其中包括有学习兴趣的徐光启、康熙帝等人，而不感兴趣者干脆表示不稀罕。至于思想禁锢因素，常常与尊儒学联系在一起，而尊儒学又常常跟科举密切相关；像清末西学发展艰难跟科举体制不无关系，最终为建立现代教育体制，不得不废除科学制度。因此，科举因素是一个必须认真探讨的问题。关于科举与数学，钱宝琮的观点具有一定的代表性。

针对宋元数学最终衰落的原因，钱宝琮认为是：

“科举制之复行与理学之普及是已。……至仁宗延佑二年(1314年)科举始有定制。自此以后，士人之干进者，皆束书不观，争事帖括矣。明算之科不设，精通算数者更无显扬之机会。元代数学不能继续发展，此其一因也。……南宋理学因得普及河朔。……于是儒者以‘为天地立心为生民立命’相号召，目象数之学为玩物丧志，不屑事之矣。此元代数学不能继续发展之又一原因也。”^[30]

科举的阻碍概括来说有两方面，一是科举导致士人都去研究儒学或诗文从而忽略了数学，影响了数学教育；二是科举中明算科地位低甚至没有，研习数学者无法通过科举获得功名，即使通过了明算科也难以跟进士科相比。

对此，我们首先要指出一个事实，即隋唐属科举草创阶段，科举的社会作用还不那么大，但隋唐却是数学发展的低潮期；宋代是科举的兴盛期，科举之发达恐怕连后来的元明清都难以相比，然而宋代正是数学的高潮期。

其实我们前面已经说过，传统数学其辉煌源于纯数学家们为数学而数学的工作，就这点来说，科举是牢笼不住他们的。而且许多数学家本身儒学修养就很高，要求得功名并不难，根本不需要数学。我们见过不少数学家感叹世人不重视数学，但还没见过有谁抱怨说不能通过数学求得功名的；相反，有相当多的数学家是不屑于功名利禄的。

至于科举与数学教育关系问题，我们不妨先看看科举产生之前的情况，仍以历史上的大数学家为例。刘徽只说了一句：“徽幼习九章，长再详览。”^[31]其数学渊源不明。祖冲之是大数学家，史书也未明言其数学渊源，不过祖父是刘宋大匠卿，管理土木营建；此外，祖冲之之子祖暅之也是大数学家，史载其“少传家业”，而暅之之子祖晧，也是“少传家业，善算历。”^[32]显然祖氏父子的数学来自家学。再如比祖冲之稍早的另一数学家何承天，史载其“五岁丧父。母徐广姊也，聪明博学，故承天幼渐训义。”^[33]而这个徐广，据载其家“世好学，至广尤为精纯，百家数术无不研览。”^[34]同样也有家学传统；刘徽幼习九章，想来也因为家学传统。考虑到这时期的学术总体上是靠士族家学传承，魏晋南北朝的数学很可能也是靠士族家学传承下来。

那科举兴起之后呢？前面提到僧一行，全国各地寻访名师，“末至天台山国清寺见一院，……闻院中布算，其声蔌蔌然。僧谓侍者曰：‘今日当有弟子自远求吾算法。’……行承其言而入，稽首请法，尽授其决焉。”^[35]金末元初的李冶本身有科举功名，然而弃官归隐；他的“天元术”得自道教的“洞渊九容”，而后自己在封龙山下讲学。大概同一时期的朱世杰周游四方，向他求学者络绎不绝。南宋的秦九韶自称“尝从隐君子受数学。”^[36]明代的王文素显然是民间学者，除了他以外，像程大位也是“商游吴楚，遍访明师。”再如清代数学代表人物梅文鼎，师从倪观湖，而倪观湖在明亡后隐居于观湖。对于这些现象，有人还专门讨论过隐士与传统数学的关系。^[37]更特别的像明代顾应祥，自称其“自幼性好数学，然无师传”，为学数学四处搜集算书，即使科举及第做官之后仍“每得诸家算书辄中夜思索至于不寐”，并在“政务之暇”写出《勾股算术》。^[38]他的数学几乎是自学成材，从中也可见其对数学之热爱。

虽然从唐代开始就有学校的数学教育，但由于其明显以服务政府为导向，还时断时续，因此对真正的数学发展其实贡献不大。相反，可以说，有了科举之后数学的真正传承仍然主要依靠民间的数学教育，具体来说即学者们的私相传授。可见科举并不妨碍数学家的数学兴趣，科举对他们能否取得数学成就也没有多少影响，至少对这些代表传统数学最高水平的数学家来说是这样的，这样宋代科举与数学同样发达也就不足为奇了。以上所述都说明科举并不阻碍传统数学发展，即使有也绝不会是根本性；科举在清末被废在于它不适应从西方传来的整个现代教育体制，不能作为反证。

此外，在现实需求与政治因素等方面，有人提出数学的衰落跟天文学的衰落有密切关系，如杜石然就说：“宋元数学的衰废和明代天文学的衰退也是分不开的。”^[39]这个观点显然是很独到的，古代天文跟数学的联系一直很密切，近代对天体运动的研究便是微积分产生的一大动力；唐代数学的“二次内插法”等成就也是在历法的编修过程中获得的。郭书春也认为：“运动没有成为科学研究的中心，科学研究的数学方法，用数学方法描述运动，当然提不到议程上来，这是我国没有产生变量数学的根本原因，也是明代数学落后的根本原因。”^[40]可惜明代偏偏很长时间都严禁研究天文历法，这不可避免会导致天文学的衰落。^[41]清初数学的发展与康熙帝的重视紧密相关，而康熙帝重视数学又是因为历法问题。可知，天文学之兴衰确有重要影响。不过需要要指出的是，尽管元代《授时历》曾用过宋元数学发明的高次方程解法，但宋元的数学成就其实跟天文关系不大，李冶等人的数学研究与历法基本无涉，主要还是数学自身逻辑的发展结果。如此一来天文学因素会对数学产生怎样的影响不好估计了。

当然还有许多其他观点，例如有人把数学的衰落跟明清专制政治联系起来（问题是，如果说考据是清代学者逃避现实的一种方式，那数学岂不是更好？像前面提到的李冶、倪观湖都是逃避政治后转而潜心研究数学的。清中叶传统数学的复兴就跟乾嘉学派的考据有关。）这里就不再列举了。（其实我们有意忽略了一个重要因素即理学。对于理学的影响，有否定者如钱宝琮，同时也有肯定的如乐爱国^[42]。因为理学是后面所要重点讨论的，这里暂时略去）

综上所述，中国传统数学并不仅仅是简单的经验归纳，不但有推理证明，而是有自己的理论体系。传统数学有其鲜明的实用性，但绝不缺乏纯理论的数学；数学家们有其经世致用的一面，更有为数学而数学的求真和创新精神。正是数学家们的纯数学研究开创了中国传统数学的辉煌局面。不可否认，传统数学自身存在相当多的缺陷，发展到宋金元时期也遇到了瓶颈，但传统数学在明清竟衰落到“几乎失传”的境地绝不是数学内部的原因。同样，传统文化参与塑造了中国数学的许多特点乃至缺点，但是，单纯的所谓的传统文化缺陷不足以解释传统数学的衰落。传统数学的衰落是个具体的历史问题，而这些看似深刻实则空洞的观点毋宁说是抽象的哲学观点，自然无法作出有效的回答。

从数学的传承可知，科举对数学并无本质影响。无论是家学还是学者私相授受甚至自学，数学教育和数学研究（尤其是高水平的理论数学）基本上是数学家个人的行为，既不为科举，也不为科举所缚。至于经济层面的因素，由于传统数学的成就某种意义上说在于它的超实用性，因而所谓封建小农经济的落后也不会是根本性的原因。像教案中所列举的其它观点同样不太大可能是问题的关键所在。倒是明清天文学的衰落值得重视，其影响有多大不好说，但它确实让传统数学的发展失去了一大动力。这可以算得上是比较具体而实在的因素。

（待续）

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八、参考文献：

[1]    [魏]刘徽：《九章算术注》，钱宝琮校点：《算经十书》，中华书局，1963年。

[2]    [唐]魏征等：《隋书·律历志》，中华书局，1973年。

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[5]    [宋]赞宁：《宋高僧传》，范祥雍点校，中华书局，1987年。

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[7]    [明]顾应祥：《勾股算术》，《续修四库全书》一〇四四《子部·天文算法类》，上海古籍出版社，2002年。

[8]    [明]朱载堉：《嘉量算经》，《续修四库全书》一〇四四《子部·天文算法类》，上海古籍出版社，2002年。

[9]    钱宝琮等著：《宋元数学综述》，《宋元数学史论文集》，科学出版社，1966年。

[10]  钱宝琮：《金元之际数学之传授》，《李俨钱宝琮科学史全集》第9卷，辽宁教育出版社，1998年。

[11]  孔国平：《〈测圆海镜〉导读》，湖北教育出版社，1996年。

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[13]  郭书春主编：《中国科学技术史·数学卷》，科学出版社，2010年。

[14]  郭书春：《关于中国数学史的几个问题刍议》，《广西民族大学学报(自然科学版) 》第14卷第4期，2008年11月。

[15]  郭书春：《刘徽〈九章算术注〉中的定义及演绎逻辑试析》，《自然科学史研究》第2卷第3期（1983年）。

[16]  郭书春：《试论刘徽的数学理论体系》， 《自然辩证法通讯》1987年第2期。

[17]  郭书春：《中国古代数学与封建社会刍议》，《科学、技术与辩证法》1985年第2期。

[18]  傅海伦、郭书春：《“为数学而数学”——刘徽科学价值观探析》，《自然辩证法通讯》2003年第1期。

[19]  中华读书报：《中国古代数学：不仅重“实用”，而且有“理论”——郭书春先生谈〈中国科学技术史·数学卷〉》，2011年9月7日第012版。

[20]  李继闵：《试论中国传统数学的特点》，吴文俊主编：《中国数学史论文集（二）》，山东教育出版社，1986年。

[21]  刘五然、李孔伦：《王文素与〈算学宝鉴〉》，《珠算与珠心算》2009年第3期。

[22]  刘五然：《中国古代传统数学在明代并未失传——关于王文素与〈算学宝鉴〉的研究》，光明日报2004年09月03日。

[23]  宋芝业、刘星：《关于古代术数中内算与外算易位问题的探讨》，《周易研究》2010年第2期。

[24]  梅荣照：《宋元数学中新的思想、方法和理论》，《自然科学史研究》第9卷第1期（1990年）。

[25]  梅荣照：《明代以后中国传统数学落后的原因》，《中国科技史料》1989年8月29日。

[26]  杜石然：《明代数学及其社会背景》，《自然科学史研究》第8卷第1期（1989年）。

[27]  徐义保：《隐士与传统数学》，《内蒙古师大学报》1990年第3期。

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